长八英寸碳化硅为什么会比两英寸难 - 联盟动态中关村天合宽禁带半导体技术创新联盟

碳化硅单晶生长，尺寸要求会不断的提升，从四英寸到六英寸，再到之后的八英寸。这个增大的过程，叫做化工过程放大。

化工的核心理论是“三传一反”：

动量传递（流体输送、过滤、沉降、固体流态化等，遵循流体动力学基本规律）；
热量传递（加热、冷却、蒸发、冷凝等，遵循热量传递基本规律）；
质量传递（蒸馏、吸收、萃取、干燥等，遵循质量传递基本规律）；
“一反”为化学反应过程。

放大不仅仅是简单的用更大的炉子，“三传一反”都会使得放大产生放大效应。

烧碳化硅就像烤火鸡

举个简单的例子，有两本烤火鸡的食谱：

一本食谱：烤制时间t与火鸡质量m成正比，即烤火鸡的时间是每斤肉20分钟——火鸡的质量翻倍，烤制时间翻倍。
另一本食谱：烤制时间t与火鸡质量m的0.6次方成正比——火鸡的质量翻倍，烤制时间翻1.5倍。

哪一本食谱的结论更好呢？

假设烤鸡的温度变化一致，就可以烤出一样的效果。

如果不提高烤箱温度，那么烤箱能够提供的热Q正比于烤的时间t；
但是烤鸡变大了，受热面积增大，相同的热量能提高的温度减小，所以要延长烘烤时间；
如果将烤鸡看成密度一致的正方体，因为质量翻了两倍，密度不变，所以体积翻了两倍，长度差不多变为1.26倍，受热面积大概只变大了1.58倍。

按照上面的关系，烤制时间应该扩大1.58倍。而1.58倍更接近第二本食谱的1.5倍，所以第二本食谱更符合传热学的观点一些。

烤火鸡的例子，说明了自然界的过程，大多都有一定程度的非线性。用我们熟知的话说，就是“量变引起质变”。当量在一个很小的范围发生变化时，看不到现象上剧烈的变化。但是当量变足够大时，我们看到的是现象的根本不同。

化工过程比这个烹饪的过程的非线性更强，热量、质量、动量以及他们之间还相互依赖。工艺放大，从实验室瓶瓶罐罐的级别的小试到中试，再到工业级别实验，通常是10倍~1000倍地逐级放大，这种量变所产生的的质变是剧烈的。所以往往会看到不一样的特征，比如反应变得很慢，混合变得十分困难等等意想不到的现象，而这些现象可能会阻碍生产、降低效率等，这些现象称为放大效应。

通过相似来简单放大

化工过程怎么去放大比较好呢？工业化初期，人们觉得保证一些关键变量的比例不变来放大是准则，称为相似准则。

几何相似：尺寸可以不同，而一切对应的设备的线性尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。比如要放大一个搅拌的反应过程，人们觉得要保证反应器的高度和宽度维持一定比例、搅拌桨的倾角这些跟几何相关的参数不变。
运动相似：在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致，且比值相等。比如搅拌反应釜时，流场中的流速分布是相似的。
动力相似：作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等。
时间相似：控制时间点相同，比如研究药品过期的时间可能需要几年，但在高温下过期时间就很短。

从简单相似到准数相似

但是，单一的相似往往忽略很多关键参数。取而代之的是一组无因次准数相似，也就是白金汉定理。

为什么准数相似比单一的相似准则好呢？

让我们来看小学时就学过的例子：

式1和式3单位不一样，但是数字却一样，两个系统似乎有一种相似关系，但因为单位不同，所以本质不一样。式1和式2，本质上是一样的，但仅仅因为单位（也称量纲、因次）不同，却得到了完全不同的形式。

但是自然界中本没有单位，真正的物理本质，是不依赖于单位而存在的。这侧面告诉我们一个重要的信息，这种带有单位的量不能很好地反映物理本质，因为有单位的“干扰”，掩盖了物理实质。那什么样的量最能反映系统的物理本质呢？没有单位的量，即无因次的数。

如果无因次的数才能反映物理本质，那么如何用无因次数表示这种相似关系呢？假设我们有两个流体流动系统，这两个流体流动系统相似：

现在假设系统 1 和系统 2 存比例关系，比例系数是：

联立比例系数和系统2，系统2可以写成下式：

如果系统2和系统1相同，那么系数应该相等，可以约去：

可以得到四组准数：

1.雷诺数，表示粘性力作用相似：

2.斯特劳哈尔数，表示时间变化相似：

3.弗劳德数，表示重力作用相似：

4.欧拉数，表示压力作用相似：

所以只要这两个系统的四个准数同时相等，在流动的现象上就是相似的，即可以得到同样的流场分布。

利用准数相似，这使得我们可以在小规模的装置上实验，而得到工业级系统上的参考数据。所以可以先在实验室规模进行优化，然后利用无因次准数相等，就可以用于规模更大的系统。当然现实中是逐步逐步的放大，而不是一步到位。化工的书中，前人做了大量的研究，总结了大量的关联式、关联图，涵盖了单元操作、流体力学、传热学、传递过程、反应工程，甚至可以见于化工技术经济。

如果我们用更一般的观点来看，相似准则实际上是方程的对称性，也就是方程的不变。对方程进行变换，如果这个变换作用后，方程依然保持不变，就称这个变换作用是对称的。所谓放大，也就是一些参数成比例，就是拉伸变换。如果系统经过拉伸变换对称，那么他们就是相似的，而这个变换就是我们要寻找的放大或者缩小的方法。化工里的放大、缩小，对应的就是数学里的李群中的拉伸群。准数组相等，实际上就确定了一组拉伸变换关系。因为拉伸变换后，系统不变，所以拉伸群是一种对称群。

再往深了说，白金汉定理实质上反映了，自然界的系统普遍存在的对称性；而这种对称性，就蕴藏在量纲的基本性质，幂次性和齐次性中。

所有的量纲都是指数形式的（幂次性），量纲的幂次性是拉伸关系的一种体现，体现的就是自然界的尺度变化，就像苹果有大有小；
量纲的齐次性是事物不变性（对称性）的一种体现，苹果不会变成梨，所以苹果不能和梨相加。

运用白金汉定理的量纲分析，甚至不需要方程就可以相似

上文的例子，可以清楚看到：如果给定系统的控制方程，就可以找到一组无因次准数，保证系统相似。那么是不是必须先知道控制方程，才能知道相应的准数组呢？答案是否定的。

上文中，反复提到白金汉π定理，而根据白金汉π定理，只需要知道相关变量及其单位就可以找到这组无因次准数，不需要知道控制方程。白金汉π定理说，如果系统有n个变量，这n个变量包含j个基本单位，则可以找到n-j个无因次量C，而且无因次量之间会存在函数关系。

这个函数关系f可以通过实验数据，统计回归得到。在现实中运用时，由于变量选择的冗余，实际找到的无因次量数目可能会大于n-j。

举个经典例子，高中就学过的单摆。设单摆周期是t，小球质量是m，摆线长度是l，重力加速度是g（量纲分析中，重力加速度常常作为一个变量来看，而不是常数来看）。上述四个量涉及3个基本单位，质量g、时间s、长度m。

按照白金汉定理，这里涉及4个量，3个基本单位，所以可以找到1个无因次量：

高中物理里面单摆的周期公式是：

质量也确实跟单摆的周期没有关系，这跟高中所学一致。

量纲分析的神奇之处，就在于我们仅仅根据系统的变量和其单位，就可以分析得出系统的无因次量。

利用量纲法，还可以求解细杆的转动惯量、水波的性质、圆棒弯曲时的应力分布，乃至利用开普勒第三定律推断万有引力的性质。这些还都是小儿科，展示量纲法威力有个最著名的例子：泰勒推断了第一颗原子弹的爆炸威力。

原子弹爆炸时，瞬间释放了大量的能量E，从而加热了周围的气体，使之膨胀、形成了冲击波（也就是巨大火球的边界）。涉及到的参数有火球半径r、时间t（爆炸时刻为时间零点）、空气的密度ρ，还有气体的定压比热和定容比热（实际上只依赖于这两者的比值γ）。做些排列组合，可以发现E→mv2→(ρV)(r/t)2→ρr5/t2，E=f(γ)ρr5/t2。美国军方于1947年公布了原子弹爆炸后火球随时间扩散的一系列照片，泰勒就利用这个公式，立刻推算出了原子弹的爆炸当量——这是完全没有公布的核心军事机密！

简直与《股市告诉我们》(The Stock Market Speaks)一样牛逼。

值得注意的事情是，用白金汉定理做量纲分析时有很大的主观性。

第一个主观性是，变量选择的主观性。同一个系统，可能可以找到多组相关变量。这时需要根据工程师的经验和化工的知识，去选择最相关的变量，最精简的组合。

第二个主观性是，准数选择的主观性。同一个系统，可能找到几组不同的准数。为了避免这种问题，凑准数时，优先选择前人已经定义的准数，其次才是自己定义的准数。根据问题的不同，化工里涉及的前人定义的准数，可以在传热学、流体力学、传递过程等书的附录里找到。在找不到需要的准数时，才选择自己凑无因次数。

这两个步骤是量纲分析的核心。

如何将白金汉定理用于化工过程放大呢？